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数学之美 数学极客-哥德尔

发布时间:2019-05-14 05:24 来源:未知 编辑:admin

  其中人工智能名人堂第18期的主人公是爱因斯坦一直找寻的谈伴,并被爱因斯坦视为知音的哥德尔。库尔特·哥德尔(Kurt Gödel)生于捷克的布尔诺,卒于美国普林斯顿。早年在维也纳大学攻读物理、数学,并参加哲学小组活动。

  1930年获博士学位。其博士论文证明了「狭谓词演算的有效公式皆可证」。之后在维也纳大学工作。1938年到美国普林斯顿高等研究院任职,1948年加入美国籍。1953年成为该所教授。哥德尔发展了冯·诺伊曼和伯奈斯等人的工作,其主要贡献在逻辑学和数学基础方面。

  目前发现的哥德尔的最早文字记录是他的小学数学练习本,大约时间是1912年,那时哥德尔6岁。最逗的是他有道题算错了,4-1=4。又擦掉重做。这么大的数学天才小时候也是一步一步走出来的。

  8岁时,哥德尔患上了严重的风湿性关节炎。他好追根究底的天性促使他钻研了解这种疾病,并知道了它可能的副作用,包括它对心脏的损害。尽管医生告知他得病后并未留下后遗症,他还是相信他的心脏受到损害。这一点成为他以后生活中一直坚守的一个顽固信念,同时也成为了他后来疑病症的来源。

  中学时期,哥德尔在数学和几何方面的才能初显,16岁就开始阅读康德的著作。他认为康德对他的智力发展具有塑造作用。这一时期,由于富裕和很高的社会地位,哥德尔一家并没有受到一战战后重建的太大干扰,这也为哥德尔的不断求学打好了物质基础。

  哲学界一个有意思的话题是有影响的哲学家大学本科是什么专业的。1924年7月,哥德尔进入了维也纳大学。最开始哥德尔的主修专业是理论物理,但听了菲利普-富特文格勒的数学课后,他便转到了楼下的数学系。在数学系,不时的替主讲教授讲课,或者指点低年级的小萌新,对于哥德尔来说已经是常事。与此同时,他还选修了富特温勒的数论课,这激发他将数论方法应用于逻辑——以自然数表达逻辑和数学命题,现在叫做“哥德尔化”。

  1929年,哥德尔与大他6岁的阿黛尔结婚。哥德尔太太阿黛尔曾是夜总会舞女,她到美国后总对人说她是跳芭蕾的。殊不知美国人也了解欧洲战前文化,说跳芭蕾比夜总会也高不了多少。哥德尔朋友们对她的看法是“说话尖酸,粗鲁暴躁”。但哥德尔被她通情达理的气质和乐观的天性深深吸引。即使这么内向的人,外人在时,哥德尔也经常晒幸福,让人家受不了。

  20世纪20年代,在集合论不断发展的基础上,大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划,其大意是建立一组公理体系,使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪,这叫做公理体系的完备性;希尔伯特还要求公理体系保持“独立性”和“无矛盾性”。希尔伯特的计划也确实有一定的进展,几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。

  正当一切都越来越明朗之际,突然一声晴天霹雳。1931年,在希尔伯特提出计划不到3年,年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。哥德尔证明:任何无矛盾的公理体系,只要包含初等算术的陈述,则必定存在一个不可判定命题,用这组公理不能判定其真假。也就是说,“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的!这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。

  哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们,真与可证是两个概念。可证的一定是真的,但真的不一定可证。某种意义上,悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹:“上帝是存在的,因为数学无疑是相容的;魔鬼也是存在的,因为我们不能证明这种相容性。”

  但是哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化,引发了许多富有挑战性的问题,而且还涉及哲学、语言学和计算机科学,甚至宇宙学。2002年8月17日,著名宇宙学家霍金在北京举行的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告,认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的,这一推测也正是基于哥德尔不完全性定理。

  有意思的是,在现今十分热门的人工智能领域,哥德尔不完全性定理是否适用也成为了人们议论的焦点。1961年,牛津大学的哲学家卢卡斯提出,根据哥德尔不完全性定理,机器不可能具有人的心智。他的观点激起了很多人反对。他们认为,哥德尔不完全性定理与机器有无心智其实没有关系,但哥德尔不完全性定理对人的限制,同样也适用于机器倒是事实。哥德尔不完全性定理的影响如此之广泛,难怪哥德尔会被看作当代最有影响力的智慧巨人之一,受到人们的永恒怀念。美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物,在数学家中,排在第一的就是哥德尔。

  1948年,哥德尔决定加入美国籍,为此,他特地仔细研究了美国宪法,准备参加入籍考试。在考试的前一天,哥德尔打电话给他的朋友著名数学家、经济学家摩根斯顿,他以惊愕又十分激动的口吻告诉后者,他在美国宪法中发现了一个逻辑漏洞,利用这个漏洞,他可以把美国变换为一个专制制度。摩根斯顿和爱因斯坦第二天将一同作为哥德尔入美国籍的证人(那时入籍要证人),两人都建议哥德尔不要在移民官面前提这事。

  第二天,爱因斯坦,摩根斯顿和哥德尔驱车前往联邦法院面试。面试中,法官简直被哥德尔如此庞大的亲友团惊呆了,甚至打破常规让两位证人一直坐着。

  法官一上来就对哥德尔说:“到目前为止你一直拥有德国国籍……”哥德尔马上纠正法官,指出他是一个奥地利人。法官不觉得怎么尴尬,接着说道:“不管怎么说,那个国家曾在罪恶的专制制度下……不过幸运的是,这在美国几乎是不可能的。”当专制这个词蹦出来,哥德尔按捺不住大声喊叫:“恰恰相反!我知道专制在美国如何发生!而且我可以证明它!!!”

  根据各种流行的说法,当时不但爱因斯坦和摩根斯顿,连法官也都一起努力让哥德尔安静下来,以免他继续就他的“发现”发表详细而冗长的谈话。最后,由于亲友团的强大影响力,哥德尔还是拿到了美国国籍。

  50年代后,哥德尔的身体健康问题和精神问题越发严重。哥德尔晚年不相信别人做的饭菜,但太太阿黛尔也病倒了,没法照顾他。他只能吃些很简单的食物。一次王浩去看他,带了些他太太做的鸡肉,他事先通知哥德尔他会来。但他到后,哥德尔却怀疑地看着他,拒绝开门。王浩只得把鸡肉放在门口台阶上离去。也不知哥德尔吃没吃。

  哥德尔逝世前一个月,王浩到他家去看他。他的头脑依然敏捷,看不出大病。他对王说:“我已经失去做肯定判断的能力了,我只能做否定判断。”临死前三天,王浩打电话给住院的哥德尔,他彬彬有礼,但语气淡漠。此时哥德尔已经没有朋友,妄想症严重,绝食。王浩是唯一亲近他的人。

  1978年1月14日,哥德尔病逝。死亡证明说:死于人格紊乱造成的营养不良和食物不足。体重只有65磅。1月19日,有一个私人葬礼,阿黛尔,摩根斯顿太太,几个家庭好友加王浩参加了。3月,IAS举办追悼会。王浩和科秦讲话。科秦把哥德尔同爱因斯坦和卡夫卡相比。哥德尔把一切都留给了阿黛尔。

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