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塔斯基不可定义定理

发布时间:2019-06-04 02:39 来源:未知 编辑:admin

  [导读]尽管哥德尔在1930年证明不完备定理的期间也发现了不可定义定理,远早于塔斯基的发表,但是哥德尔并未发表自己有关不可定义性的发现,仅在1931年致约翰冯诺伊曼的信中提到它。

  【哲学上最难——也是最重要——的任务之一,是明确世界的两类特征,即那些独立于任何观察者而存在的内在特征和那些相对于观察者或使用者而存在的特征。例如一个物体有质量(无论对谁而言)与这个物体是浴缸(也可是水缸、饰缸、粮缸)。细细想来,这也是数学、智能、宗教、政治……最难的任务吧!】

  库尔特·哥德尔在1931年发表了著名的哥德尔不完备定理,他一部分是透过一阶算术逻辑的语义表达技巧来完成定理的证明。在他的算术语言中,每条表达式都配有各自的编码。这个过程称为“哥德尔编码”,而每组表达式也可配有各自的编码组。如此一来,各种语义属性(例如:当成式子或当成句子)变成可计算的。我们就可透过算术式定义任何可计算的编码组,具体而言,我们可用算术语言中的某些式子(即公理)为算术句子及可证明的算术句子定义出编码组。

  塔斯基不可定义定理则表明:这种编码不能带给我们语义的概念,例如:真理的概念。这表明:世上没有任何直译语言足以表达出它本身的语义。我们可推论出,元语言必须具备超越对象语言的表达能力,才可表达出对象语言的语义。元语言具有对象语言所没有的原始概念、公理及规则,使得某些定理在对象语言中不可证明,在元语言中却可证明。

  一般认为不可定义定理是由塔斯基给出的。尽管哥德尔在1930年证明不完备定理的期间也发现了不可定义定理,远早于塔斯基的发表,但是哥德尔并未发表自己有关不可定义性的发现,仅在1931年致约翰·冯·诺伊曼的信中提到它。

  塔斯基在1929至1931年间完成了他大部分的论文成果,并向波兰的听众演说。这篇论文就是1936年发表的《形式化语言中的真理概念》(Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen)。然而,正如他在论文中所强调的,不可定义定理was the only result not obtained by him earlier.根据论文中不可定义定理的注解(Satz I),这个定理及其证明的草稿是在送印前才加进论文中的。

  我们在这个小节会给出塔斯基定理的简易版,接着在下个小节才会论及塔斯基在1936年的完整证明。

  令L为一阶算术语言,令N为L的标准结构。这样,(L,N)就是“一阶算术直译语言”。L中的每个句子x都有各自的哥德尔数g(x)。令T为L中基于N为真的句子的集合,而T*为T中的句子的哥德尔数的集合。

  塔斯基不可定义定理的回答是:没有任何L中基于N为真的式子定义出T*,亦即,没有任何L中基于N为真的式子使得对任何L中的式子A,有g(A)为真若且为若A为真。

  简单来说,这个定理告诉我们:我们不可透过任何形式算术本身的表达能力定义出这种形式算术中的真理概念。这指出了自指范围的主要限制。我们不可定义出extension为T的基于N为真的式子,不过我们仍可透过表达能力超越L的元语言来达到这点。例如:二阶算术可定义出一阶算术的真谓词。可是元语言只可定义出对象语言中的句子的真谓词。我们必须以更高阶的元语言(即元语言的元语言)来定义元语言的真谓词,这样的定义方式是永无止尽的。

  这个定理算是波斯特定理(Posts theorem)在算术阶层中的引理。这个定理是继塔斯基不可定义定理发表数年后完成的。在波斯特定理的基础下,我们可透过归谬法给出塔斯基定理的语义证明如下: 假设T*是算术上可定义的,那么,我们可透过自然数n将T*定义在算术阶层的第阶。然而,对任何k,T*都是。这样,算术阶层就在第n阶崩溃,违反波斯特定理。

  以谓词与函数符号定义出自身中所有语义概念的直译语言,就具有“语义上强自我表达”能力。其中,必要的函数包括:“语义评估函数”,用以将式子A映射到它的真值A,及“语义表示函数”,用以将用语t,映射到它所表示的物件。最终,塔斯基定理总结道:“没有任何语言具有语义上强自我表达能力。”

  无论如何,塔斯基不可定义定理并未禁止以较强的理论去定义较弱的理论中的真理。例如,透过二阶算术可定义一阶算术基于N为真;而透过一阶策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)可定义二阶算术(直到n阶算术)的真式子。

  雷蒙·史慕扬(Raymond Smullyan)强烈建议人们将目光从哥德尔不完备定理转移到塔斯基不可定义定理上,因为后者主要涉及数学,而在哲学议题的范畴中效果不显著。反之,塔斯基定理并不直接涉及数学,却涉及任何形式语言在充分表达能力上先天限制,使我们深感兴趣。这种语言借由对角线引理(diagonal lemma)的作用产生充分的自指能力。引进塔斯基定理对哲学领域的扩展效果更加显著。

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