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世界数学难题

发布时间:2019-07-07 15:02 来源:未知 编辑:admin

  听说”哥德巴赫猜想”被列为”世界23个数学难题之一”,请问其他22个是什么.请一一详细说明.(只要说出题目,并说出它到底已解决了没.)...

  听说”哥德巴赫猜想”被列为”世界23个数学难题之一”,请问其他22个是什么.请一一详细说明.(只要说出题目,并说出它到底已解决了没.)

  1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科思(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下,问题已获解决。

  欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

  问题的意思是:存在两个登高等底的四面体,它们不可能分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等德思(M.Dehn)1900年已解决。

  此问题提的一般。满足此性质的几何很多,因而需要加以某些限制条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布,在对称距离情况下,问题获解决。

  这一个问题简称连续群的解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年,由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zippin)共同解决。1953年,日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

  1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来,在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化,很多人有怀疑。

  需证:如果α是代数数,β是无理数的代数数,那么αβ一定是超越数或至少是无理数(例如,2√2和eπ)。苏联的盖尔封特(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前,确定所给的数是否超越数,尚无统一的方法。

  素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均属中国数学家陈景润。

  1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷(E.Artin)各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

  求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图(约210-290,古希腊数学家)方程可解。1950年前后,美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年,巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明:在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系。

  德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代,法国数学家魏依(A.Weil)取得了新进展。

  即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果,离彻底解决还很远。

  七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c;x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来?此问题已接近解决。1957年,苏联数学家阿诺尔德(Arnold)证明了任一在〔0,1〕上连续的实函数f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9),这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数,ξij的选取可与f完全无关。1964年,维土斯金(Vituskin)推广到连续可微情形,对解析函数情形则未解决。

  即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi(i=1,…,m),R为K〔X1,…,Xm]上的有理函数F(X1,…,Xm)构成的环,并且F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]试问R是否可由有限个元素F1,…,FN的多项式生成?这个与代数不变量问题有关的问题,日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

  一个典型的问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

  此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N(n)和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2(即二次系统)的情况,1934年福罗献尔得到N(2)≥1;1952年鲍廷得到N(2)≥3;1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3,这个曾震动一时的结果,由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置,中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了(E2)不超过两串。1957年,中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年,中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下,与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年,秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环,并且是(1,3)结构,从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题,并为研究希尔伯特第(16)问题提供了新的途径。

  实系数有理函数f(x1,…,xn)对任意数组(x1,…,xn)都恒大于或等于0,确定f是否都能写成有理函数的平方和?1927年阿廷已肯定地解决。

  德国数学家比贝尔巴赫(Bieberbach)1910年,莱因哈特(Reinhart)1928年作出部分解决。

  德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein,1929)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939)已解决。

  (21)具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

  此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅(Deligne)作出了出色贡献。

  此问题涉及艰深的黎曼曲面理论,1907年克伯(P.Koebe)对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

  1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中,首先他提出许多重要的思想:

  正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样,数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决,研究者锻炼其钢铁意志,发现新观点,达到更为广阔的自由的境界。

  希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用,他指出:“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念,那就必须回顾一下当今科学提出的,希望在将来能够解决的问题。” 同时又指出:“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”

  同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题,即著名的“希尔伯特23个问题”。

  1 连续统假设 公理化集合论 1963年,en 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。

  2 算术公理的相容性 数学基础 希尔伯特证明算术公理的相容性的设想,后来发展为系统的Hilbert计划(“元数学”或“证明论”)但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。

  3 两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很快(1900)即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。

  4 直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提得过于一般。希尔伯特之后,许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何,在研究第四问题上取得很大进展,但问题并未完全解决。

  5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论 经过漫长的努力,这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决,答案是肯定的。

  6 物理公理的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学等领域,公理化方法已获得很大成功,但一般地说,公理化的物理意味着什么,仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。

  7 某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。

  8 素数问题 数论 一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决。中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。

  9 任意数域中最一般的互反律之证明 类域论 已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.

  10 Diophantius方程可解性的判别 不定分析 1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。

  12 Abel域上 kroneker定理推广到任意代数有理域。 复乘法理论 尚未解决。

  13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。 方程论与实函数论 连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决,如要求是解析函数,则问题仍未解决。

  14 证明某类完全函数系的有限性 代数不变式理论 1958年永田雅宜给出了否定解决。

  16 代数曲线与曲面的拓扑 曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论 问题的前半部分,近年来不断有重要结果。

  17 正定形式的平方表示式 域(实域)论 已由Artin 于1926年解决。

  19 正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论 这个问题在某种意义上已获解决。

  20 一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论 偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。

  21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性 线性常微分方程大范围理论 已由Hilbert本人(1905)年和 H.Rohrl(德,1957)解决。

  23 变分法的进一步发展 变分法 Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。

  21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了,它将给本世纪的数学发展带来些什么?能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向吗? 一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册,完全是因为一个人,因为他的一个报告——希尔伯特(David Hilbert)和他的《数学问题》。

  1900年,希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。在随后的半个世纪中,许多世界一流的数学头脑都围着它们转。其情形正如另一位非常著名的数学家外尔(H. Weyl)所说:“希尔伯特吹响了他的魔笛,成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。”这也难怪,他所提出的问题都那么清晰、那么易懂,其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试,而且解决其中任意一个,或者在任意一个问题上有重大突破,立即就能名满天下——我国的陈景润就因为在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题,包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所侧目。人们在总结二十世纪数学的发展,尤其是二十世纪上半叶数学的发展时,通常都以希尔伯特所提的问题为航标。

  其实这些问题绝大部分业已存在,并不是希尔伯特首先提出来的。但他站在更高的层面,用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题,并指出了其中许多问题的解决方向。

  数学领域中的问题是极多的,究竟哪些更重要、更基本?做出这样的选择需要敏锐的洞察力。为什么希尔伯特能如此目光如炬?数学史家、中国科学院数学与系统科学研究院研究员、《希尔伯特——数学王国中的亚历山大》一书的译者袁向东先生(和李文林先生合译)认为,这是因为希尔伯特是数学王国中的亚历山大!数学家可分为两类,一类擅长解决数学中的难题,另一类擅长对现有状况做出理论总结,两大类中又均可细分为一流、二流、三流。希尔伯特两者兼长,几乎走遍了现代数学所有前沿阵地,在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的名字,对数学发展的大背景了如指掌,对所提及的许多问题都有深入的研究,是数学领域中的“王”。

  为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题,而不像常人一样宣讲自己的某项成果?袁向东告诉记者,这和另一位数学巨匠庞加莱(Henri Poincaré)有关,庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。他们两人是当时国际数学界中的双子星座,均为领袖级人物,当然也存在一定的竞争心理——既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法,那么希尔伯特就为纯粹数学做一些辩护。

  庞加莱是法国人,希尔伯特是德国人,法、德两国有世仇,所以他们之间的竞争还带上了一种国与国竞争的味道。虽然他们两人非常尊重对方,这一点在他们身上体现得不明显,但他们的学生和老师常常这样看。

  希尔伯特的老师克莱茵(Felix Klein)就是一个民族感非常强的人,他非常强调德意志数学的发展,想让国际数学界变成椭圆——以前是圆形,圆心为巴黎;现在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心,使数学世界变成有两个圆心的椭圆。

  在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基(Hermann Minkowski)的帮助下,克莱茵实现了自己的目标——1900年时,希尔伯特就已经和法国最伟大的数学家庞加莱齐名,而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学家。事实上,他们在德国号称“无敌三教授”。

  某天,在谈及拓扑学著名定理——四色定理时,闵可夫斯基突然灵机一动,于是对满堂的学生说:“这条定理还没有得到证明,因为到目前为止还只有一些三流数学家对它进行过研究。现在由我来证明它。”然后他拿起粉笔当场证明这条定理。这堂课结束后,他还没有证完。下堂课他继续证,这样一直持续了几周。最后,在一个阴雨的早晨,他一走上讲台天空就出现了一道霹雳。“老天也被我的傲慢激怒了,”他说,“我的证明也是不完全的。”(该定理直到1994年才用计算机证明出来。)

  1912年,庞加莱逝世。世界数学的中心进一步向哥廷根偏移,数学界似乎又变成了一个圆——不过圆心换成了哥廷根。此时,哥廷根学派的名声如日中天,在数学青年中流行的口号是“打起你的铺盖,到哥廷根去!”

  一个世纪过去了,希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决,其余一半的大多数也都有重大进展。但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个。有人问他,为什么他不去解决自己所提的问题,譬如说费马大定理?

  费马是在一页书的空白处写下该定理的,他同时宣称自己已经想出了一个美妙的证法,但可惜的是空白区不够大,写不下了。希尔伯特的回答同样幽默:“我不想杀掉这只会下金蛋的母鸡”——德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决费马大定律者,希尔伯特时任该基金会的主席,每年利用该项基金的利息请优秀学者去哥廷根讲学,所以对他而言,费马大定律者是只会下金蛋的母鸡。(费马大定律直到1997年才被解决。)

  在列出23个问题之前,希尔伯特已经是国际数学界公认的领军人物,已经在数学的诸多领域取得多项重要成果。他的其它贡献,譬如他的公理化主张、形式主义构想、《几何基础》一书等等,都对20世纪数学的发展有着深远的影响。

  最近美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事:对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。

  在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克(StephenCook)于1971年陈述的。

  二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导至一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

  如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。

  有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

  量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

  “千僖难题”之六: 纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

  起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

  数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解),相反,如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

  1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科思(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下,问题已获解决。

  展开全部1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题,称为希尔伯特数学问题[Hilberts Mathematical Problems]。内容涉及现代数学大部份重要领域,目的是为新世纪的数学发展提供目标和预测成果,结果大大推动了20世纪数学的发展。该23个问题的简介如下:

  3.只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不 可能的。即不能将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。

  12.类域的构成问题。具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理 域。

  1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科思(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下,问题已获解决。

  欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

  问题的意思是:存在两个登高等底的四面体,它们不可能分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等德思(M.Dehn)1900年已解决。

  此问题提的一般。满足此性质的几何很多,因而需要加以某些限制条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布,在对称距离情况下,问题获解决。

  这一个问题简称连续群的解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年,由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zippin)共同解决。1953年,日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

  1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来,在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化,很多人有怀疑。

  需证:如果α是代数数,β是无理数的代数数,那么αβ一定是超越数或至少是无理数(例如,2√2和eπ)。苏联的盖尔封特(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前,确定所给的数是否超越数,尚无统一的方法。

  素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均属中国数学家陈景润。

  1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷(E.Artin)各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

  求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图(约210-290,古希腊数学家)方程可解。1950年前后,美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年,巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明:在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系。

  德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代,法国数学家魏依(A.Weil)取得了新进展。

  即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果,离彻底解决还很远。

  七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c;x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来?此问题已接近解决。1957年,苏联数学家阿诺尔德(Arnold)证明了任一在〔0,1〕上连续的实函数f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9),这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数,ξij的选取可与f完全无关。1964年,维土斯金(Vituskin)推广到连续可微情形,对解析函数情形则未解决。

  即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi(i=1,…,m),R为K〔X1,…,Xm]上的有理函数F(X1,…,Xm)构成的环,并且F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]试问R是否可由有限个元素F1,…,FN的多项式生成?这个与代数不变量问题有关的问题,日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

  一个典型的问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

  此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N(n)和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2(即二次系统)的情况,1934年福罗献尔得到N(2)≥1;1952年鲍廷得到N(2)≥3;1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3,这个曾震动一时的结果,由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置,中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了(E2)不超过两串。1957年,中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年,中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下,与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年,秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环,并且是(1,3)结构,从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题,并为研究希尔伯特第(16)问题提供了新的途径。

  实系数有理函数f(x1,…,xn)对任意数组(x1,…,xn)都恒大于或等于0,确定f是否都能写成有理函数的平方和?1927年阿廷已肯定地解决。

  德国数学家比贝尔巴赫(Bieberbach)1910年,莱因哈特(Reinhart)1928年作出部分解决。

  德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein,1929)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939)已解决。

  (21)具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

  此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅(Deligne)作出了出色贡献。

  此问题涉及艰深的黎曼曲面理论,1907年克伯(P.Koebe)对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

  1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中,首先他提出许多重要的思想:

  正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样,数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决,研究者锻炼其钢铁意志,发现新观点,达到更为广阔的自由的境界。

  希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用,他指出:“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念,那就必须回顾一下当今科学提出的,希望在将来能够解决的问题。” 同时又指出:“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”

  同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题,即著名的“希尔伯特23个问题”。

  1 连续统假设 公理化集合论 1963年,en 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。

  2 算术公理的相容性 数学基础 希尔伯特证明算术公理的相容性的设想,后来发展为系统的Hilbert计划(“元数学”或“证明论”)但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。

  3 两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很快(1900)即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。

  4 直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提得过于一般。希尔伯特之后,许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何,在研究第四问题上取得很大进展,但问题并未完全解决。

  5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论 经过漫长的努力,这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决,答案是肯定的。

  6 物理公理的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学等领域,公理化方法已获得很大成功,但一般地说,公理化的物理意味着什么,仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。

  7 某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。

  8 素数问题 数论 一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决。中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。

  9 任意数域中最一般的互反律之证明 类域论 已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.

  10 Diophantius方程可解性的判别 不定分析 1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。

  12 Abel域上 kroneker定理推广到任意代数有理域。 复乘法理论 尚未解决。

  13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。 方程论与实函数论 连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决,如要求是解析函数,则问题仍未解决。

  14 证明某类完全函数系的有限性 代数不变式理论 1958年永田雅宜给出了否定解决。

  16 代数曲线与曲面的拓扑 曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论 问题的前半部分,近年来不断有重要结果。

  17 正定形式的平方表示式 域(实域)论 已由Artin 于1926年解决。

  19 正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论 这个问题在某种意义上已获解决。

  20 一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论 偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。

  21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性 线性常微分方程大范围理论 已由Hilbert本人(1905)年和 H.Rohrl(德,1957)解决。

  23 变分法的进一步发展 变分法 Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。

  21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了,它将给本世纪的数学发展带来些什么?能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向吗? 一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册,完全是因为一个人,因为他的一个报告——希尔伯特(David Hilbert)和他的《数学问题》。

  1900年,希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。在随后的半个世纪中,许多世界一流的数学头脑都围着它们转。其情形正如另一位非常著名的数学家外尔(H. Weyl)所说:“希尔伯特吹响了他的魔笛,成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。”这也难怪,他所提出的问题都那么清晰、那么易懂,其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试,而且解决其中任意一个,或者在任意一个问题上有重大突破,立即就能名满天下——我国的陈景润就因为在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题,包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所侧目。人们在总结二十世纪数学的发展,尤其是二十世纪上半叶数学的发展时,通常都以希尔伯特所提的问题为航标。

  其实这些问题绝大部分业已存在,并不是希尔伯特首先提出来的。但他站在更高的层面,用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题,并指出了其中许多问题的解决方向。

  数学领域中的问题是极多的,究竟哪些更重要、更基本?做出这样的选择需要敏锐的洞察力。为什么希尔伯特能如此目光如炬?数学史家、中国科学院数学与系统科学研究院研究员、《希尔伯特——数学王国中的亚历山大》一书的译者袁向东先生(和李文林先生合译)认为,这是因为希尔伯特是数学王国中的亚历山大!数学家可分为两类,一类擅长解决数学中的难题,另一类擅长对现有状况做出理论总结,两大类中又均可细分为一流、二流、三流。希尔伯特两者兼长,几乎走遍了现代数学所有前沿阵地,在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的名字,对数学发展的大背景了如指掌,对所提及的许多问题都有深入的研究,是数学领域中的“王”。

  为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题,而不像常人一样宣讲自己的某项成果?袁向东告诉记者,这和另一位数学巨匠庞加莱(Henri Poincaré)有关,庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。他们两人是当时国际数学界中的双子星座,均为领袖级人物,当然也存在一定的竞争心理——既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法,那么希尔伯特就为纯粹数学做一些辩护。

  庞加莱是法国人,希尔伯特是德国人,法、德两国有世仇,所以他们之间的竞争还带上了一种国与国竞争的味道。虽然他们两人非常尊重对方,这一点在他们身上体现得不明显,但他们的学生和老师常常这样看。

  希尔伯特的老师克莱茵(Felix Klein)就是一个民族感非常强的人,他非常强调德意志数学的发展,想让国际数学界变成椭圆——以前是圆形,圆心为巴黎;现在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心,使数学世界变成有两个圆心的椭圆。

  在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基(Hermann Minkowski)的帮助下,克莱茵实现了自己的目标——1900年时,希尔伯特就已经和法国最伟大的数学家庞加莱齐名,而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学家。事实上,他们在德国号称“无敌三教授”。

  某天,在谈及拓扑学著名定理——四色定理时,闵可夫斯基突然灵机一动,于是对满堂的学生说:“这条定理还没有得到证明,因为到目前为止还只有一些三流数学家对它进行过研究。现在由我来证明它。”然后他拿起粉笔当场证明这条定理。这堂课结束后,他还没有证完。下堂课他继续证,这样一直持续了几周。最后,在一个阴雨的早晨,他一走上讲台天空就出现了一道霹雳。“老天也被我的傲慢激怒了,”他说,“我的证明也是不完全的。”(该定理直到1994年才用计算机证明出来。)

  1912年,庞加莱逝世。世界数学的中心进一步向哥廷根偏移,数学界似乎又变成了一个圆——不过圆心换成了哥廷根。此时,哥廷根学派的名声如日中天,在数学青年中流行的口号是“打起你的铺盖,到哥廷根去!”

  一个世纪过去了,希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决,其余一半的大多数也都有重大进展。但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个。有人问他,为什么他不去解决自己所提的问题,譬如说费马大定理?

  费马是在一页书的空白处写下该定理的,他同时宣称自己已经想出了一个美妙的证法,但可惜的是空白区不够大,写不下了。希尔伯特的回答同样幽默:“我不想杀掉这只会下金蛋的母鸡”——德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决费马大定律者,希尔伯特时任该基金会的主席,每年利用该项基金的利息请优秀学者去哥廷根讲学,所以对他而言,费马大定律者是只会下金蛋的母鸡。(费马大定律直到1997年才被解决。)

  在列出23个问题之前,希尔伯特已经是国际数学界公认的领军人物,已经在数学的诸多领域取得多项重要成果。他的其它贡献,譬如他的公理化主张、形式主义构想、《几何基础》一书等等,都对20世纪数学的发展有着深远的影响。

  最近美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事:对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。

  在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克(StephenCook)于1971年陈述的。

  二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导至一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

  如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。

  有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

  量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

  “千僖难题”之六: 纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

  起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

  数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解),相反,如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

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