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详细介绍数学中等“哥德尔不完备性定理”

发布时间:2019-07-12 16:35 来源:未知 编辑:admin

  哥德尔不完备性定理浅释 要理解哥德尔定理,先得理解集的概念。 (一) 集合 “集合”或集的描述:集这个概念,是不可 以精确定义的数学基本概念之一,故只能作 描述:凡具有某种特殊性质对象的汇集,其 总合被称为集。 例:一组数(可能是无限的),一群人,一栏 鸡蛋。 在作数学上具体研究时,组成集的个体,被 称为“元”的其他特殊属性,如鸡的特性, 人的特性,数的特性,都不再考虑。于是, 一个集合就被抽象成A,它的元被抽象成x。 我们有 x 属于 A 我们也规定: A 不能属于 A 即A不能是A自己的一元,这个规定不是不合 理的,例如,所有的书所组成的集不是书! 所以所有书的集合不能是这个集合的一元。 A 的某一部份B也可自行构造出一集,被称 为A之“子集”。 我们有 B 含于 A 特殊情况:B可以等于A,B也可以没有元素, 被称为“空集”,我们称这样两种情况叫住 A的“平凡”子集。 定义:对等 设A,B分别为两个集,如果A和B之间能建立 1-1的对应关系,则我们称: A 对等于 B 反之亦然。 对等是集与集之间最基本的关系。若A和B都 含有限个元,则两集之间要对等,当且仅当 二者的元的数目相等。 如果A和B都是无限的,则也能/不能建立对等 关系,如两个无限数列A和B: A:1,2,3,。。。 B:2,4,6,。。。 就能建立1-1对应,故 A 对等于 B 可以证明,任何两个无限数列的集合都能对 等。 但是,有些无限集之间却不能对等。 例:设实数轴0到1之间的所有有理数所组成 的集为R,又设0到1之间所有的无理数所组成 的集为I,则可证明(略): 1.R和I之间不对等; 2.R对等于I中的一个非平凡子集,在这样的 情况下, 综合1。,我们说 R 小于 I 3.R 对等于 一个自然数序列 数目在无限大时候的推广。我们称上述A有“势” 为可数势,意味着,A的元数目可以一个一个地 数下去,虽然不一定能数完。于是,自然数序列 集具有可数势,任何有限集合也有可数势,而且, 由上面的3.可知有理数集也有可数势。 再从1.的结论可知,无理数的集有大于可数势 的势,我们称这个势为“不可数势”! (二) “康脱悖论” 设M是一个集,这个集的元是由集合X所组成,其 中,X 不属于 X。 康脱悖论:M 不属于 M 同时 M 属于 M 事实上,如果M属于M,则由定义,M不属于M;反 过来,如果M不属于M,则同样由定义,M属于M。 这就出现了悖论,这个悖论首先由康脱提出来, 它类似于“塞维尔村理发师悖论”,1902年,罗 素又把它在叙述上修改了一下,把它作为一种悖 论,用来说明集合论的形式公理体系建立的必要。 康脱悖论的发现,引起了十九世纪末的数学界很 大的震动,原因在一切数学的推理和由推理得出 的结论最终可以由“与、或、非”三种基本逻辑 运算所构成的组合操作,而这些组合操作的集合 本身构成了矛盾,于是所有数学成就的整个大厦 开始动摇! 其后,罗素等人提出了形式(逻辑)公理体系,试 图甩掉那些悖论,让数学在无悖论的情况下发展 (事实上,至今数学里还没有这样的悖论的干扰)。 办法就是,如怀特海所说,当一个形式逻辑体系 出现康脱悖论时,就用一个更大的逻辑体系去把 它包了,换句话说,就是让原先那个逻辑体系作 为更大的逻辑体系的子集合。当然这样做的结果, 新的母体系又产生了不可避免的矛盾。怀特海问: 就这样一层一层地包下去,以致于无穷,是否就 可避免了矛盾? (三) 哥德尔不完备性定理浅释 哥德尔不完备性定理的提出和证明就是为了解决 怀特海上述猜想,它指出:使用层层外延法扩张 形式逻辑体系并不能清除其总和的矛盾! 哥德尔最妙的想法就是把一切逻辑运算视作一种 二进制代码(CODE),就例如,“与”可对应为1, “或”可对应为10,“非”可对应为11。但这些 二进制数却被他再转换成小数,如0.1,0.01, 0.11,组合逻辑运算不过是这三种码的组合,也 就是更复杂的小数。 递归:逻辑运算里有一种调用自身的运算,称为 “递归”。递归术语今天是编程算法里最基本的 运算方法之一。递归有两种结局:1.终止于有 限次数的操作;2.无限递归下去,在编程上被 称为死循环。 当逻辑体系按照怀特海的办法延拓到一个新的, 更大的逻辑体系时,旧的逻辑体系中的操作如果 被新的体系调用,就会出现递归,递归有时是无 限次数的(这是允许的,不象计算机运算不允许), 在此情况下,由二进制代码所代表的逻辑运算将 出现无限循环的小数。 这样,哥德尔就用递归把每一次形式逻辑体系的 外延后的操作,用有限小数和无限循环小数代 表出来,而且他还证明了,这种代表是唯一对应 的,也就是说,每一二进制有限小数或无限循 环小数皆唯一对应于怀特海意义下的无限扩张逻 辑体系下的某一逻辑操作。 二进制与十进制:二进制数与十进制数之间能建 立起唯一对应关系,因之,实轴上0-1的一端(剃 除掉两个端点,0、1)的所有小数都可以由二进 制小数表出,而且,两种进位制里的有限小数和 无限循环小数都对应。 有理数和无理数:任何有限小数和无限不循环小 数都属于0-1之间的有理数。0-1数段的实数除了 全部含于其中的有理数以外,还存在着无理数, 例如2分之2的平方根。如果我们表0-1数段的所 有有理数集合为Ro,表剩下的所有无理数集合为 Io,则可证明: Ro 对等于 R; Io 对等于 I 这里的R、I见(一)中例的定义。因此,我们遂有 Ro有可数势,而Io有不可数势。 哥德尔证明了:怀特海意义下的无限延拓形式逻 辑体系的所有逻辑操作所组成的集合与Ro之间能 够建立起1-1的对应关系,也就是说,这两个集 合对等,因此,它们有相同的势。即都具有可数 势。 但是,如果我们把0-1间任意一个无理数对应成 一个逻辑操作,因为它无限不循环,这个操作是 我们不能确定的,但却能有限截断后知道的,我 们就可以理解成不能用确定的逻辑操作去解决的, 或者换个口吻,说成是矛盾。 于是,哥德尔就得出了结论,形式逻辑分析不能 用来解决认识中的所有出现的矛盾,更有甚者, 我们由Io的不可数势的性质看到,这样的矛盾远 多于形式逻辑分析所能解决的数量! 哥德尔定理证明的独到之处,在于用数学反过来 证明逻辑分析问题,前面我们已经看到,数学上 已经确定了的推理本来是可被拆成基本逻辑操作 来推理的。罗素曾有个想法,认为所有数学的推 理都可拆开成基本的逻辑运算去实现,好象是数 学可以变成逻辑学似的,今天的哲学界数学界摈 弃了罗素这个想法,认为这是不可能的。

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