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哥德尔不完全性定理

发布时间:2019-07-12 16:37 来源:未知 编辑:admin

  哥德尔不完全性定理 哥德尔是德国著名数学家,不完备性定理是他在1931年提出来的.这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化,更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑.该定理与塔斯基的形式语言的真理论,图灵机和判定问题,被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果.

  哥德尔证明了任何一个形式体系,只要包括了简单的初等数论描述,而且是一致的,它必定包含某些体系内所允许的方法既不能证明也不能正伪的命题.

  歌德尔第一不完全定理:设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论,如果S是一致的,则下文的T与非T在S中均不可证.设下述公式的编码为q,

  歌德尔第二不完全定理:如果系统S含有初等数论,当S无矛盾时,它的无矛盾性不可能在S内证明。

  (第一不完备性定理:任意一个包含算术系统在内的形式系统中,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。

  2013-11-18展开全部哥德尔第一不完全性定理:如果PA是一致的,则存在PA命题P, P在PA中不可证;如果PA是ω一致的,则P的否定﹁P在PA中不可证(1936年罗塞尔(J.B.Rosser)证明可以将条件“ω一致”改为“一致”),即系统PA是不完全的,这样的P称为不可判定命题(即命题和命题的否定都不是系统的定理)。

  哥德尔第二不完全性定理:如果算术形式系统PA是一致的,则不可能在系统PA内部证明其一致性。(不能自我证明其完满性?这里的一致是不是指的系统的自洽性?)

  哥德尔第一不完全性定理:任何足以展开初等数论的数学形式系统,如果是一致的,就是不完全的,即其中必定存在不可判定命题;

  哥德尔第二不完全性定理:任何足以展开初等数论的数学形式系统,如果是一致的,其一致性在系统内不可证。第二不完全性定理的另一种形式:任何足够丰富的数学形式系统,如果是一致的,那么它不能证明表达它自身一致性的命题是定理。

  哥德尔证明第一不完全性定理的思路是,先在形式系统中构造一个命题P,这个命题形如“P在系统中不可证”,进而指出,这个命题P和它的否定﹁ P都不是系统的定理,即这个命题在系统中是不可判定的。依照经典逻辑,任何一个命题,或者为真,或者为假,二者必居其一,二者只居其一,即命题和命题的否定必有一真,因此,系统中存在不可判定命题,就意味着系统中存在真的但不可证的命题。事实上,哥德尔构造的命题P身就是一个真的但在系统中不可证的命题。

  哥德尔证明第二不完全性定理的思路是,既然有事实,如果系统PA是一致的,则P在系统PA中不可证,那么表达这个事实的论证可以在系统PA中形式化。例如,“系统PA是一致的”可以表示为Con(PA),同时把“P在系统PA中不可证”就用P表示,相应论证就表示成:

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