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怎样理解哥德尔不完全定理?

发布时间:2019-08-05 20:50 来源:未知 编辑:admin

  设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论,如果S是一致的,则下文的T与非T在S中均不可证。

  任意一个包含算术系统在内的形式系统中,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。

  这些话都什么意思~我不是学这专业的,不大理解,希望大家给予一种通俗的解释,最好有例子~~

  展开全部为了解释这个问题 我需要初略叙述一些模型论的基本知识 有些严格定义是比较麻烦的 我只是举例子说一下。

  1 什么叫一个理论 一个理论包括2部分 一部分是符号集 一部分是一些能用符号写出来的命题 我们叫公理集

  2 什么叫模型? 比如说 对于ABEL群(有0,有加法,加法有交换律 结合律, 任何元素X 有Y使 X+Y=0)的理论 自然数 Z 就是是一个模型, 有理数Q 也是一个模型。

  3 在一阶逻辑中 有完备性定理 就是说一个理论中 一个命题是可以被证明的 等价于在其所有模型中都成立。打个比方 在ABEL群的理论中 一个命题: 任何X 存在Y有 X=Y+Y. 是否能被证明呢? 答案是不能 因为 在 Z这个模型中 1就不能写出2个相同整数的和。 那它的反面:存在X 任何Y有 X不=Y+Y. 能不能被证明呢? 答案还是不能 因为 在 Q这个模型中 任何X 有X=X/2+X/2.

  4什么叫做一个理论是完备的呢? 如果这里理论中 所以能被写出来的命题 或者能被证明 或者其反面能被证明 则其完备。 完备的理论有 比如说 代数封闭域的理论就是完备的。 不完备的理论 比如有刚才举得例子 ABEL群的理论就是不完备的。

  这里有2点解释 一个是什么叫可递归的? 如果存在一个算法 能判断 任何一段话是不是一个证明 那么 这个理论就叫做课递归的。

  如果去掉这个要求 不完备定理就是不成立的。 因为我们总可以找一个模型, 然后 把这个模型的所有 真命题加到 公理中去 得到的理论就一定是完备的。

  什么叫皮亚诺公理呢? 这个建议你维基百科一下。 皮亚诺公理是一族描述自然数的 公理, 其中最非平凡的一条是所谓归纳公理,是数学归纳法的基础。

  事实上我们先前也看到过不完备的理论,比如说ABEL群的理论。所以说现在看到哥德尔不完备性定理也就没什么好惊讶的了。 不完备性只所以出现 很大程度是因为 模型的不唯一性。 其实任何理论的模型都是不唯一的。 但是如果理论的模型在一些条件下能有一定的唯一性 那么就可以证明他是完备的。 而哥德尔不完备性定理 就是说 我们所熟知的自然数这个 模型 是不能用一族简单的公理来完全描述的, 如果一定要完全的描述它 得到的理论就不是递归的。

  展开全部简单地说就是体系内存在着统一的逻辑,但这种逻辑不能证明体系内的各种公理的合法性或者说非法性。

  举个例子,强盗逻辑就是强盗信仰的逻辑,它对于强盗是正确的,而对于强盗之外的世界是不正确的,但这种事情和逻辑无关。

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