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哥德尔证明了逻辑的完备又证明了数学 系统的不完全。两者根本区

发布时间:2019-08-05 20:52 来源:未知 编辑:admin

  在学术著作中,完备和完全是一个英文词,中国人为了分开,采取了不同的翻译。我看过这样的说法:完全=完备+不矛盾。是不?关于翻译和这个词,我都能理解。你这样解释,我基本也理解。但你说单纯的逻辑系统是完备的,可歌德尔只证明了一阶谓词的完备。有人说高阶就不完备了。是不是这样?另外:比如欧几里德几何基本上是完备的我明白;而基本算术系统不完备,有没有什么例子,比较简单的。请您告诉我。还有哥德巴赫猜想算不算基本算术系统里的?谢谢。

  我比较笨,希望得到更多更详细的信息。追答完全=完备+不矛盾应该是错的,完备和完全是一个词,也是同样的意思,不过在不同的上下文环境汇总容易混淆,人们分别翻译,做了区别。

  二阶以上的逻辑系统是不完备的。欧几里得是不是完备的我不知道,基本算术是不完备的。没有简单的例子,只是理论上的。寻找这样的例子很费事,也有一些人做过这样的事情。这样的例子叫哥德尔句子。我只能这样解释:在算术里,一个命题,要么为线是线是假的,一般来说这些命题的真假都可以被证明。歌德尔说的是,存在一个命题,不能被证明是真的,也不能被证明是假的。

  哥德巴赫猜想很有意思,我认为他是算术系统里的。追问您说的,我听明白了。非常感谢,我想再罗嗦一下,希望不吝赐教。

  我还有一个疑惑。哥德尔证明一阶演算完备,他用的方法是不是也用了形式逻辑,如果是的,他不就是拿逻辑证明逻辑的基础完备么?这样证明了也只是合理的,证明不了也可能是他的方法出错,都说明不了什么?这不是多余的么?不是把“逻辑”当一个特殊公理系统,承认它就好了么?我感觉,他居然把这个都证明了,非常神奇。追答他用的不是逻辑(虽然里面使用了一些合理的推理)。

  总之,那个方法是合情合理的。追问对角线法、类似悖论的。那不是证明“不完全性定理”的方法吗?难道说哥德尔一开始就用这招,然后一招鲜吃遍天?是的话,能提供给我详细点的论证过程么?万分感谢。很想拜您为师。我的邮箱.我的。可以的话,加我吧。追答那只是基本的方法,哥德尔贡献很多。

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