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阐述一个数学原理或定律

发布时间:2019-09-09 12:51 来源:未知 编辑:admin

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  展开全部勾股定理是一个基本的初等几何定理,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a+b=c,若a、b、c都是正整数,(a,b,c)叫做勾股数组。

  勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。“勾三,股四,弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。

  远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理,还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国,西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

  这个定理,本来又称费马猜想,由17世纪法国数学家费马提出。费马宣称他已找到一个绝妙证明。但经过三个半世纪的努力,这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学,包括代数几何中的椭圆曲线和模形式,以及伽罗华理论和Hecke代数等,令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理,获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

  1637年,费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时,曾在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下。”(拉丁文原文: Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.)毕竟费马没有写下证明,而他的其它猜想对数学贡献良多,由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容,推动了数论的发展。

  对很多不同的n,费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。

  1908年,德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内,第一个证明该定理的人,吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后,马克大幅贬值,该定理的魅力也大大地下降。

  1986年,Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”:若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n,即如果费马大定理是错的,则椭圆曲线 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。

  1995年,怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想,Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内,从而证明了费马大定理。

  怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间,在不为人知的情况下,得出了证明的大部分;然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明,并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中,专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救,终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功,这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊(en:Annals of Mathematics)之上。

  3:1825年,狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形,用的是欧拉所用方法的延伸,但避开了唯一因子分解定理。

  4:1839年,法国数学家拉梅证明了n=7的情形,他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧秒工具,只是难以推广到n=11的情形;于是,他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明,但没有成功。

  5:库默尔在1844年提出了“理想数”概念,他证明了:对于所有小于100的素指数n,费马大定理成立,此一研究告一阶段。

  8:1983年,德国数学家法尔廷斯证明了一条重要的猜想——莫代尔猜想x的平方+y的平方=1这样的方程至多有有限个有理数解,他由于这一贡献,获得了菲尔兹奖。

  9:1955年,日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系;谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山——志村猜想”,这个猜想说明了:有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白,但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。

  10:1985年,德国数学家弗雷指出了“谷山——志村猜想”和“费马大定理”之间的关系;他提出了一个命题 :假定“费马大定理”不成立,即存在一组非零整数A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方(n2),那么用这组数构造出的形如y的平方=x(x+A的n次方)乘以(x-B的n次方)的椭圆曲线,不可能是模曲线。尽管他努力了,但他的命题和“谷山——志村猜想”矛盾,如果能同时证明这两个命题,根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立,这一假定是错误的,从而就证明了“费马大定理”。但当时他没有严格证明他的命题。

  11:1986年,美国数学家里贝特证明了弗雷命题,于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。

  12:1993年6月,英国数学家维尔斯证明了:对有理数域上的一大类椭圆曲线,“谷山——志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线,也就表明了他最终证明了“费马大定理”;但专家对他的证明审察发现有漏洞,于是,维尔斯又经过了一年多的拼搏,于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理”

  1676年数学家根据费马的少量提示用无穷递降法证明n=4。1678年和1738年德国数学家莱布尼兹和瑞士数学家欧拉也各自证明n=4。1770年欧拉证明n=3。1823年和1825年法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷先后证明n =5。1832年狄利克雷试图证明n=7,却只证明了n=14。1839年法国数学家拉梅证明了n=7,随后得到法国数学家勒贝格的简化……19世纪贡献最大的是德国数学家库麦尔,他从1844年起花费20多年时间,创立了理想数理论,为代数数论奠下基础;库麦尔证明当n<100时除37、59、67三数外费马大定理均成立。

  为推进费马大定理的证明,布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖。1908年德国数学家佛尔夫斯克尔临终在哥廷根皇家科学会悬赏10万马克,并充分考虑到证明的艰巨性,将期限定为100年。数学迷们对此趋之若鹜,纷纷把“证明”寄给数学家,期望凭短短几页初等变换夺取桂冠。德国数学家兰道印制了一批明信片由学生填写:“亲爱的先生或女士:您对费马大定理的证明已经收到,现予退回,第一个错误出现在第_页第_行。”

  在解决问题的过程中,数学家们不但利用了广博精深的数学知识,还创造了许多新理论新方法,对数学发展的贡献难以估量。1900年,希尔伯特提出尚未解决的23个问题时虽未将费马大定理列入,却把它作为一个在解决中不断产生新理论新方法的典型例证。据说希尔伯特还宣称自己能够证明,但他认为问题一旦解决,有益的副产品将不再产生。“我应更加注意,不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡。”

  数学家就是这样缓慢而执着地向前迈进,直至1955年证明n<4002。大型计算机的出现推进了证明速度,1976年德国数学家瓦格斯塔夫证明n<125000,1985年美国数学家罗瑟证明n<41000000。但数学是严谨的科学,n值再大依然有限,从有限到无穷的距离漫长而遥远。

  1983年,年仅29岁的德国数学家法尔廷斯证明了代数几何中的莫德尔猜想,为此在第20届国际数学家大会上荣获菲尔茨奖;此奖相当于数学界的诺贝尔奖,只授予40岁以下的青年数学家。莫德尔猜想有一个直接推论:对于形如x^n+y^n=z^n(n≥4)的方程至多只有有限多组整数解。这对费马大定理的证明是一个有益的突破。从“有限多组”到“一组没有”还有很大差距,但从无限到有限已前进了一大步。

  1955年日本数学家谷山丰提出过一个属于代数几何范畴的谷山猜想,德国数学家弗雷在1985年指出:如果费马大定理不成立,谷山猜想也不成立。随后德国数学家佩尔提出佩尔猜想,补足了弗雷观点的缺陷。至此,如果谷山猜想和佩尔猜想都被证明,费马大定理不证自明。

  1993年6月,英国数学家、美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯在剑桥大学牛顿数学研究所举行了一系列代数几何学术讲演。在6月23日最后一次讲演《椭圆曲线、模型式和伽罗瓦表示》中,怀尔斯部分证明了谷山猜想。所谓部分证明,是指怀尔斯证明了谷山猜想对于半稳定的椭圆曲线成立——谢天谢地,与费马大定理相关的那条椭圆曲线恰好是半稳定的!这时在座60多位知名数学家意识到,困扰数学界三个半世纪的费马大定理被证明了!这一消息在讲演后不胫而走,许多大学都举行了游行和狂欢,在芝加哥甚至出动了警察上街维持秩序。

  五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想,后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大,当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起,而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的,进而推出费马最后定理也是正确的。

  这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表,这个报告马上震惊整个数学界,就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵,於是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答,数学界的梦魇终於结束。1997年6月,怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金,不过怀尔斯领到时,只值五万美金左右,但安德鲁·怀尔斯已经名列青史,永垂不朽了。

  n = 4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。费马本人证明了p = 3的情,但证明不完全。勒让德〔1823〕和狄利克雷〔1825〕证明了p = 5的情形。1839年,拉梅证明了p = 7的情形。1847年,德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。他创立了理想数论,这使得他证明了当p 100时,除了p = 37,59,67这三个数以外,费马猜想都成立。后来他又进行深入研究,证明了对于上述三个数费马猜想也成立。在近代数学家中,范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。他从本世纪20年代开始研究费马猜想,首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。在以后的30余年内,他进行了大量的工作,得到了使费马猜想成立一些充分条件。他和另外两位数学家共同证明了当p 4002时费马猜想成立。

  现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想,使p 的数目有很大的推进。到1977年为止,瓦格斯塔夫证明了p 125000时,费马猜想成立。《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导,费马猜想近年来取得了惊人的研究成果:格朗维尔和希思—布龙证明了「对几乎所有的指数,费马大定理成立」。即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数,则证明中用到了法尔廷斯〔Faltings〕的结果。另外一个重要结果是:费马猜想若有反例,即存在x 0,y 0,z 0,n 2,使x^n + y^n = z^n ,则x 101,800,000。

  这个定理,本来又称费马猜想,由17世纪法国数学家费马提出。费马宣称他已找到一个绝妙证明。但经过三个半世纪的努力,这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学,包括代数几何中的椭圆曲线和模形式,以及伽罗华理论和Hecke代数等,令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理,获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

  1637年,费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时,曾在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下。”(拉丁文原文: Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.)毕竟费马没有写下证明,而他的其它猜想对数学贡献良多,由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容,推动了数论的发展。

  对很多不同的n,费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。

  1908年,德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内,第一个证明该定理的人,吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后,马克大幅贬值,该定理的魅力也大大地下降。

  1986年,Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”:若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n,即如果费马大定理是错的,则椭圆曲线 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。

  1995年,怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想,Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内,从而证明了费马大定理。

  怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间,在不为人知的情况下,得出了证明的大部分;然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明,并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中,专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救,终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功,这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊(en:Annals of Mathematics)之上。

  3:1825年,狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形,用的是欧拉所用方法的延伸,但避开了唯一因子分解定理。

  4:1839年,法国数学家拉梅证明了n=7的情形,他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧秒工具,只是难以推广到n=11的情形;于是,他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明,但没有成功。

  5:库默尔在1844年提出了“理想数”概念,他证明了:对于所有小于100的素指数n,费马大定理成立,此一研究告一阶段。

  8:1983年,德国数学家法尔廷斯证明了一条重要的猜想——莫代尔猜想x的平方+y的平方=1这样的方程至多有有限个有理数解,他由于这一贡献,获得了菲尔兹奖。

  9:1955年,日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系;谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山——志村猜想”,这个猜想说明了:有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白,但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。

  10:1985年,德国数学家弗雷指出了“谷山——志村猜想”和“费马大定理”之间的关系;他提出了一个命题 :假定“费马大定理”不成立,即存在一组非零整数A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方(n2),那么用这组数构造出的形如y的平方=x(x+A的n次方)乘以(x-B的n次方)的椭圆曲线,不可能是模曲线。尽管他努力了,但他的命题和“谷山——志村猜想”矛盾,如果能同时证明这两个命题,根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立,这一假定是错误的,从而就证明了“费马大定理”。但当时他没有严格证明他的命题。

  11:1986年,美国数学家里贝特证明了弗雷命题,于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。

  12:1993年6月,英国数学家维尔斯证明了:对有理数域上的一大类椭圆曲线,“谷山——志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线,也就表明了他最终证明了“费马大定理”;但专家对他的证明审察发现有漏洞,于是,维尔斯又经过了一年多的拼搏,于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理”

  1676年数学家根据费马的少量提示用无穷递降法证明n=4。1678年和1738年德国数学家莱布尼兹和瑞士数学家欧拉也各自证明n=4。1770年欧拉证明n=3。1823年和1825年法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷先后证明n =5。1832年狄利克雷试图证明n=7,却只证明了n=14。1839年法国数学家拉梅证明了n=7,随后得到法国数学家勒贝格的简化……19世纪贡献最大的是德国数学家库麦尔,他从1844年起花费20多年时间,创立了理想数理论,为代数数论奠下基础;库麦尔证明当n<100时除37、59、67三数外费马大定理均成立。

  为推进费马大定理的证明,布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖。1908年德国数学家佛尔夫斯克尔临终在哥廷根皇家科学会悬赏10万马克,并充分考虑到证明的艰巨性,将期限定为100年。数学迷们对此趋之若鹜,纷纷把“证明”寄给数学家,期望凭短短几页初等变换夺取桂冠。德国数学家兰道印制了一批明信片由学生填写:“亲爱的先生或女士:您对费马大定理的证明已经收到,现予退回,第一个错误出现在第_页第_行。”

  在解决问题的过程中,数学家们不但利用了广博精深的数学知识,还创造了许多新理论新方法,对数学发展的贡献难以估量。1900年,希尔伯特提出尚未解决的23个问题时虽未将费马大定理列入,却把它作为一个在解决中不断产生新理论新方法的典型例证。据说希尔伯特还宣称自己能够证明,但他认为问题一旦解决,有益的副产品将不再产生。“我应更加注意,不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡。”

  数学家就是这样缓慢而执着地向前迈进,直至1955年证明n<4002。大型计算机的出现推进了证明速度,1976年德国数学家瓦格斯塔夫证明n<125000,1985年美国数学家罗瑟证明n<41000000。但数学是严谨的科学,n值再大依然有限,从有限到无穷的距离漫长而遥远。

  1983年,年仅29岁的德国数学家法尔廷斯证明了代数几何中的莫德尔猜想,为此在第20届国际数学家大会上荣获菲尔茨奖;此奖相当于数学界的诺贝尔奖,只授予40岁以下的青年数学家。莫德尔猜想有一个直接推论:对于形如x^n+y^n=z^n(n≥4)的方程至多只有有限多组整数解。这对费马大定理的证明是一个有益的突破。从“有限多组”到“一组没有”还有很大差距,但从无限到有限已前进了一大步。

  1955年日本数学家谷山丰提出过一个属于代数几何范畴的谷山猜想,德国数学家弗雷在1985年指出:如果费马大定理不成立,谷山猜想也不成立。随后德国数学家佩尔提出佩尔猜想,补足了弗雷观点的缺陷。至此,如果谷山猜想和佩尔猜想都被证明,费马大定理不证自明。

  1993年6月,英国数学家、美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯在剑桥大学牛顿数学研究所举行了一系列代数几何学术讲演。在6月23日最后一次讲演《椭圆曲线、模型式和伽罗瓦表示》中,怀尔斯部分证明了谷山猜想。所谓部分证明,是指怀尔斯证明了谷山猜想对于半稳定的椭圆曲线成立——谢天谢地,与费马大定理相关的那条椭圆曲线恰好是半稳定的!这时在座60多位知名数学家意识到,困扰数学界三个半世纪的费马大定理被证明了!这一消息在讲演后不胫而走,许多大学都举行了游行和狂欢,在芝加哥甚至出动了警察上街维持秩序。

  五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想,后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大,当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起,而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的,进而推出费马最后定理也是正确的。

  这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表,这个报告马上震惊整个数学界,就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵,於是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答,数学界的梦魇终於结束。1997年6月,怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金,不过怀尔斯领到时,只值五万美金左右,但安德鲁·怀尔斯已经名列青史,永垂不朽了。

  n = 4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。费马本人证明了p = 3的情,但证明不完全。勒让德〔1823〕和狄利克雷〔1825〕证明了p = 5的情形。1839年,拉梅证明了p = 7的情形。1847年,德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。他创立了理想数论,这使得他证明了当p 100时,除了p = 37,59,67这三个数以外,费马猜想都成立。后来他又进行深入研究,证明了对于上述三个数费马猜想也成立。在近代数学家中,范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。他从本世纪20年代开始研究费马猜想,首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。在以后的30余年内,他进行了大量的工作,得到了使费马猜想成立一些充分条件。他和另外两位数学家共同证明了当p 4002时费马猜想成立。

  现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想,使p 的数目有很大的推进。到1977年为止,瓦格斯塔夫证明了p 125000时,费马猜想成立。《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导,费马猜想近年来取得了惊人的研究成果:格朗维尔和希思—布龙证明了「对几乎所有的指数,费马大定理成立」。即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数,则证明中用到了法尔廷斯〔Faltings〕的结果。另外一个重要结果是:费马猜想若有反例,即存在x 0,y 0,z 0,n 2,使x^n + y^n = z^n ,则x 101,800,000。

  19世纪之前的300年间,数学家们一直为证明一元四次以上的方程是否有解而忙碌着,可惜他们不是望而却步,就是半途而废,没有一位能揭开这个结。1818年,挪威一位阿尔贝,在研究了前人的有关这一问题的大量资料后,坚定地对他的老师说:“让我来解答这一历史难题吧,我能证明四次以上的方程是否有解。”他凭着自信,聪明和勤奋,花了六年的时间,给了历史一个圆满的回答:一般高于四次的方程没有代数解。这就是著名的阿尔贝—鲁菲尼定理。

  1824年,阿贝尔证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式.该证明写进了“论代数方所谓方程有根式解(代数可解),就是这个方程的解可由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来.关于代数方程的求解,从16世纪前半叶起,已成为代数学的首要问题,一般的三次和四次方程解法被意大利的几位数学家解决.在以后的几百年里,代数学家们主要致力于求解五次乃至更高次数的方程,但是一直没有成功.对于方程论,拉格朗日比较系统地研究了方程根的性质(1770),正确指出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在,从而实现了代数思维方式的转变.尽管拉格朗日没能彻底解决高次方程的求解问题,但是他的思维方法却给后人以启示.P.鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性,但其“证明”存有缺陷.两年以后,高斯解决了分圆方程的可解性理论问题.拉格朗日和高斯的工作是阿贝尔研究工作的出发点.中学时,他就读过拉格朗日关于方程论的著作;大学一年级开始全面研究高斯的《算术研究》(Disquis-tiones arithmeticae).后来,他又了解了柯西关于置换理论方面的成果.然而,他当时并不晓得鲁菲尼的工作.阿贝尔就是在这种背景下思考代数方程可解性理论问题的.

  1824年,阿贝尔首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正确证明.更详细的证明,于1826年发表在克雷尔杂志第一期上.题目为“高于四次的一般方程的代数解法不可能性的证明”.在这篇论文中,阿贝尔讨论并修正了鲁菲尼论证中的缺陷.鲁菲尼的“证明”缺乏域的概念,所以不可能在由已知方程的系数所确定的基础域及域的扩张下进行工作.另外,鲁菲尼“证明”中还用到了一个未加证明的关键性命题,后称阿贝尔定理.该定理说,如果一个代数方程能用根式求解,则出现在根的表达式中的每个根式,一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数.阿贝尔就是应用这个定理证明高于四次的一般方程不能有根式解的.

  他在进一步思考哪些方程(比如x^n-1=0)才可用根式解的问题的时候,阿贝尔证明了下述定理:对于一个任意次的方程,如果方程所有的根都可用其中的一个根有理地表出(我们用x表示),并且任意两个根Q(x)与Q1(x)(这里Q,Q1均为有理函数),满足关系QQ1(x)=Q1Q(x),那么所考虑的方程总是代数可解的.或者说,根xi=Q1(Xi),Q2(Xi),…,Qn(Xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换.方程根进行这样置换的个数是n.阿贝尔考虑并证明了这些置换的性质,这就是“置换群”。

  阿贝尔遗作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿,即“关于函数的代数解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions,1839).文中叙述了方程论的发展状况,重新讨论了特殊方程可解性的问题,为后来E·伽罗瓦(Galois)遗作的出版开辟了道路.在前言部分,阿贝尔暗示出一种重要的思维方法,他认为解方程之前,应首先证明其解的存在性,这样可使整个过程避免“计算的复杂性”.在代数方程可解性理论研究中,他还提出了一个研究纲领,就是在他的工作中需要解决两类问题:一是构造任意次数的代数可解的方程;二是判定已知方程是否可用根式求解.他试图全部刻画可用根式求解的方程的特性.但因早逝而没能完成这个工作,他只解决了第一类问题.几年后,伽罗瓦接过他的工作,用群的方法彻底解决了代数方程的可解性理论问题,从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论.

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